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2017年08月29日

(マイナス)×(マイナス)→(プラス) の話

調子に乗って、前回の続きで「何故、(マイナス)×(マイナス)は(プラス)になるのか?」という話をしてみます。
いろいろ考えてみましたたが、結局、自分でもよく分かっていないということが分かった。
それで、数学的に少々おかしくても、自分なりに何となく分かった気になれる方法はないかと考えてみた。。。



で、やはり「リンゴ」に登場してもらうしかないという結論に至った。
私に上手く画を描いたり、数式を綺麗に表示するスキルがなくて申し訳ないです。
想像力の世界になって、しんどいのですが、独断で少し説明してみます。


リンゴを入れる薄い発泡スチロール製の凹んだ容器(以下「トレイ」という。)を考える。
このトレイは、1箇所に1個のリンゴが収まるようになっているが、2列で奥行きは3個分となっている。
つまり、1つのトレイにリンゴが6個収まるようになっている。

このトレイが2つあり、一方のトレイにはリンゴが全ての箇所に載っており、計6個のリンゴがある。
もう一方のトレイは、空になっており、リンゴは0個。
リンゴ3.png
こんな感じで、左側の赤い〇がリンゴのつもりです。リンゴが6個あるイメージ。

小学生の私が毎日学校から帰って来ても、台所の片隅で何日もこの状態が続いている。
そこで、この図の状態を勝手に、
『初期状態』・・・・Ⓐ
と決める。
a0002_011893.jpg 
さて、ここで、
a×b=c ・・・・・Ⓑ
という計算を考える。
a,bは当面、自然数(=正の整数)とする。

aは1回に増やしたリンゴの個数、bはaを行った回数、cはその結果と考える。

ディメンジョン・単位で見ると、
Ⓑの左辺(「=」の左側)のaは、
リンゴの個数だから「個」。
bは、回数だから「回」となるが、これは計算の途中の足し算の回数が変わるだけだと考えて、強引にbの単位の「回」を消去して「無名数」としてしまう。
結果、右辺cも「個」となる。

そこで、
a=2,b=3とすると、
2×3
=2+2+2
=6
=+6
で、リンゴはⒶよりも6個増えて、計12個となる。

では、a,bを整数まで拡げて、aがマイナスの整数のときには、どう考えるか?
少し違和感があるが、「aがマイナスのときは、増やすの反対で、その数だけリンゴを減らす」と考える。
a=ー2, b=3とすれば、a×bは、

(ー2)× 3
=(-2)+(-2)+(-2)
=-6・・・・・[c]
となる。

違和感といえば、殆どの閲覧者の方は、読むのが面倒になって大分前から読むのを止めていると思うが、まだ付き合ってくれている方は、私が何故、違和感のあるⒶを初期状態と決めたか、ピンと来たかも知れない。
リンゴが0個の状態を初期状態としてしまうと、視覚的にリンゴがない状態と足りない状態との違いが判別できないからだ。

それで、[c]の結果は、Ⓐと比べて「リンゴが6個減った状態、あるいは6個足りない状態」と見る。
1回に2個ずつリンゴを減らすと、3回目にはリンゴが0個となるということ。

次はbだが、その前にまた少し考え方を変えてみる。

上のⒷの左辺を、計算というよりも一連の操作と考える。
そして、個数と回数という考えは変えないが、bに時間の概念を加える。
つまり、b=-1 の場合には、その操作を行う1回前の状態ということにする。
これについても少し違和感はあるが、それほど不自然な考えではないと思う。

それで、a=2,b=ー3の場合だと、

2×(ー3)= -6
と計算されるが、これは、「1回に2個ずつリンゴを増やす操作を3回行う前はどうだったか」と考えて、
Ⓐよりもリンゴが6個少ない状態、つまりリンゴは0個だったと考える。

次に、a =0の場合。
計算すると、0 × b =0となる。
1回に増やすリンゴは0個だから、あまり考えず、何回操作しても、Ⓐの状態と変わらないと考える。

b =0の場合。
a × 0=0となる。
1回に増やすリンゴの数が何個だろうと、操作を行わないのだからやはりⒶの状態と変わらない。
計画倒れという感じ。


いよいよ最後に、a =ー2, b=ー3の場合。
(ー2)×(ー3)。
これは、「1回にリンゴを2個ずつ減らす操作を3回行う前」と考えてイメージしてみると、3回前にはリンゴがⒶと比べて6個多くて計12個あったということで、何となく分かったような気がする。

つまり、
(ー2)×(ー3)
= 6
= +6
で私的にはOKだ。

これで、a =2 , 0 ,ー2 と b = 3 , 0 , ー3 の場合の、a×b のすべての組み合わせが出尽くしたと思う。
「a , b が整数出ないときには、どう考えるのか?」という話はあるだろうが、例えば、「今回のような計算を数多く行って、その平均値を取った」と考えれば良いのではないかと思う。

かなり強引で要領の悪い説明になってしまったが、裸にはならないが、「ユリイカ」という気持ちが少しある。

ここまで付き合ってくれた方々、ありがとうございました。

(追記)
字句を一部修正しました。

この記事を改めて読んでみると、結局、当初に書いた
「何故、(マイナス)×(マイナス)は(プラス)になるのか?」
という説明にはなっていないことに気がついた。

しかし、四則演算を行って、(-1)×(-1)= 1 を証明してみても、私は感覚的に分かったという気がしない。
「それが具体的にどういうことを意味しているの?」という感じ。

そこで、リンゴの数の増減で考えてみたところ、「マイナス×マイナス = プラス」がイメージできたので、私的(わたしてき)には意味があったと思っています。
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posted by いわし雲 at 19:43 Comment(0) | もやもや、数学・自然科学 | 更新情報をチェックする
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