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2017年08月27日

分数で割る話

また訳の分からないタイトルで、恥ずかしい限りです。
内容は、そのまんまで、
「分数で割る計算を行うとき、どうして分子と分母をひっくり返した数(=逆数)を掛けるのか?」という話です。

「今更何言ってんの? いわし雲さん、頭お元気?」と言われそうですが、ひょっとしたら私と同じような疑問を持っている人が1人くらいいて、その人のもやもやが解消されるかも知れないと思い、投稿します。

これは、先日ふと浮かんだ疑問ですが、経緯は次のとおりです。
・小学生の頃、このような計算方法を習った。
・教師がどのように説明したかは忘れたが、取り敢えずそうすれば答えが導けた。
・そのうち、何故そうなるのかという疑問が膨らんだ。
・かなり学年が上がってから、自分なりに考えて納得できた。
・数十年の齢を重ねた今となって、再び疑問を持った。
・当時、自分がどのように考えて折り合いをつけたか忘れた。

要するに、自分が進歩していないとも言える。

それで、最近時々考えてみたところ、数学的には厳密ではないが、何となく分かったような気がしてきた。

前提とか条件と言うのが良いのかどうかよく分からないが、次のことだけを公理のように無批判に認めることとした。
① 割り算と分数は等価である。
② 分数の分子・分母に0以外の同じ数を掛けても、同じ値になる。
その他として、
③「÷0」や「分母が0となる分数」は、意味がないので考えない。


①は、等価という言い方が正しいかどうかは分からないが、
「割り算と分数は表現方法が違うだけで、同じものである」という意味で使っている。

②は、通分や約分のときに出てくる計算のイメージ。
また、◑の黒い部分の面積は、円全体の面積の1/2だが、例えば円を12分割したとき、円い時計の文字盤のイメージで考えてみると、6時という時刻には6/12となって、1/2と同じものとなるという感じ。
我ながら、いい加減な説明だと思う。

それで、例として、 2÷2/3 の計算を考えてみる。

2÷2/3
= 2 / 2/3 ・・・・・・Ⓐ
= 2×3 / 2/3 × 3
= 2×3 / 2/1
= 2×3/2


言葉にするとややこしいが、
「分数で割るということは、分母が分数となっている分数(=複分数)となって、その分母にある分数の分母を、全体の分数の分子・分母に掛ければ、結局、元の分数の逆数を掛けることになる」
ということのようだ。

しかし、こんな面倒な計算をしなくても、Ⓐで分母の逆数である 3/2 を掛ければ、
2÷2/3
= 2 / 2/3
= 2×3/2 / 2/3 × 3/2
= 2×3/2 / 1
= 2×3/2

となるので、結局、初めから逆数を掛ければよいということが分かった。

一応納得できたが、徒労感が強い。

ところで、上の②で「同じ数を掛ける」と言ったが、「同じ数」はマイナスの数でも、√2 やπ(パイ)などの無理数でも、iを含んだ複素数でもOKだろう。

そこで、また余計なことを思いついてしまった。
(マイナス)×(マイナス)→(プラス)
は、どのように理解すればよいか?

学校では、「とにかく、そう覚えろ」という強引な教え方だったと思う。
自分なりに納得できるアイデアが思いついたら、また投稿します。



ラベル:分母 逆数
posted by いわし雲 at 16:13 Comment(0) | もやもや、数学・自然科学 | 更新情報をチェックする
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